Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание BB9EAA.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны. Утверждение требует лишь существования хотя бы одного такого прямоугольника. Подходит любой квадрат, поэтому существование доказано.
Возьмём квадрат со стороной 2. Он имеет четыре прямых угла, а диагонали пересекаются под углом 90°.
Верно. Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.
«Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.»
Ромб имеет четыре равные стороны; если все его углы прямые, это квадрат. У ромба противоположные углы равны, соседние в сумме дают 180°. Если один угол 90°, противоположный тоже 90°, а каждый соседний равен 180° − 90° = 90°. Все углы стали прямыми.
Получили одновременно равенство всех сторон и четыре прямых угла — определение квадрата.
Верно. Одного прямого угла у ромба достаточно, чтобы все остальные тоже стали прямыми.
«В тупоугольном треугольнике все углы тупые.»
Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол, а два остальных — острые. Два угла больше 90° уже дали бы сумму больше 180°. Поэтому в треугольнике не может быть двух или трёх тупых углов.
Пример тупоугольного треугольника: 120°, 30°, 30°. Только один из этих углов тупой.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Неверно. Слово «тупоугольный» означает наличие одного тупого угла, а не то, что все углы тупые.
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.