Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 37A31B.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.»
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты можно взять основанием и высотой, потому что они перпендикулярны. Но в формуле площади любого треугольника остаётся деление на 2.
При катетах 3 и 4 площадь равна 6, а произведение катетов равно 12.
Считаем числитель: .
Неверно. Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.
«Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны. Утверждение требует лишь существования хотя бы одного такого прямоугольника. Подходит любой квадрат, поэтому существование доказано.
Возьмём квадрат со стороной 2. Он имеет четыре прямых угла, а диагонали пересекаются под углом 90°.
Верно. Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.
«Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.»
Равенство четырёх сторон само по себе не фиксирует углы четырёхугольника. Например, квадрат и ромб могут иметь одинаковые длины всех четырёх сторон. Если у ромба углы не прямые, совместить фигуры нельзя: они не равны.
Сравним квадрат со стороной 2 и ромб со стороной 2 и углом 60°. У квадрата все углы 90°, у ромба есть углы 60° и 120°.
Неверно. Признак равенства треугольников по трём сторонам нельзя без дополнительных условий переносить на четырёхугольники.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.