Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Диагонали ромба равны.
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются
в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание BA9532.
Ответ: 3.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Диагонали ромба равны.»
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, но не обязательно равны. Равенство диагоналей выделяет среди ромбов квадраты. Обычный ромб с острым и тупым углами имеет разные диагонали.
У ромба со стороной 2 и острым углом 60° диагонали равны 2 и 2√3. Они не равны.
Неверно. Не переносите свойство равенства диагоналей прямоугольника на любой ромб.
«Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.»
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: . При увеличении всех сторон в k раз в k раз увеличивается и соответствующая высота. В формуле площади перемножаются основание и высота, поэтому площадь увеличивается в k·k = k² раз.
У двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 1 и 2, 2 коэффициент подобия 2. Площади равны 1/2 и 2, их отношение — 4.
Неверно. Длины меняются в k раз, площади — в k² раз.
«Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.»
Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов соответствующего отрезка. Пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника равноудалено от всех трёх вершин. Через эти вершины можно провести окружность с данным центром и общим радиусом. Третий серединный перпендикуляр проходит через тот же центр.
Если O — точка пересечения серединных перпендикуляров, то OA = OB и OB = OC, следовательно, OA = OB = OC.
Верно. Описанная окружность проходит через вершины; вписанная касается сторон. Для их центров используются разные линии.
1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 3 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.