ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ A16FD777 из 150

Четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A16FD7.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
Утверждение 2: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 3: Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.»

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Диагональ выпуклого четырёхугольника разбивает его на два треугольника. Сумма углов каждого 180°, а вместе они дают все внутренние углы исходной фигуры.

Утверждение 1: поясняющий пример

Складываем суммы углов двух треугольников.

180

+180

=360^\circ

Верно. Выпуклость позволяет провести диагональ внутри фигуры и использовать такое разбиение.

Диагональ параллелограмма образует два равных треугольника.

Утверждение 2: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 2: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«Любой параллелограмм можно вписать в окружность.»

У вписанного выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°. В параллелограмме противоположные углы равны. Если он вписан в окружность, каждый из таких углов должен быть 90°. Значит, вписать можно прямоугольник, но не любой параллелограмм.

Утверждение 3: контрпример

Ромб с острыми углами A = C = 60° является параллелограммом. Сумма этих противоположных углов 120°, поэтому вписать его в окружность нельзя.

60

+60

=120^\circ

120^\circ\ne180^\circ

Неверно. Среди параллелограммов в окружность вписываются именно прямоугольники, включая квадраты.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .
У вписанного выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Выпуклость позволяет провести диагональ внутри фигуры и использовать такое разбиение.
Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Среди параллелограммов в окружность вписываются именно прямоугольники, включая квадраты.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники