ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 692FC1101 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 692FC1.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Утверждение 2: Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Утверждение 3: Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагонали равнобедренной трапеции равны.»

Диагонали равнобедренной трапеции равны. В треугольниках BAD и CDA сторона AD общая, боковые стороны AB и CD равны, углы BAD и CDA при одном основании равны. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому их третьи стороны BD и AC равны.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме обе диагонали одной равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.

AB

=CD,\quad\angle BAD

=\angle CDA

AC

=BD

Верно. Это свойство равнобедренной трапеции. Для обычной или прямоугольной трапеции оно не гарантировано.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер. Увеличение треугольника сохраняет все углы, но меняет длины сторон. Поэтому два треугольника с одинаковыми углами могут иметь разные размеры и не быть равными.

Утверждение 2: контрпример

У равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 все углы по 60°. Однако сторона 2 не равна стороне 3, значит треугольники не равны.

60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ

2\ne3

Неверно. Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Утверждение 3: разбираем правило

«Тангенс любого острого угла меньше единицы.»

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катеты могут быть равными, а противолежащий катет может быть и больше прилежащего. Поэтому тангенс острого угла не обязан быть меньше 1.

Утверждение 3: контрпример

В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы по 45°, катеты равны. Тангенс 45° равен 1, что уже опровергает строгое «меньше единицы».

\operatorname{tg}45^\circ

=\frac{1}{1}

=1

Неверно. Для углов больше 45° и меньше 90° тангенс больше 1; для углов меньше 45° — меньше 1.

Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Это свойство равнобедренной трапеции. Для обычной или прямоугольной трапеции оно не гарантировано.
Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.
Для углов больше 45° и меньше 90° тангенс больше 1; для углов меньше 45° — меньше 1.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники