ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ A37D67124 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Диагонали ромба перпендикулярны.
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A37D67.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 2: Диагонали ромба перпендикулярны.
Утверждение 3: Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 1: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Диагонали ромба перпендикулярны.»

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Пусть O — пересечение диагоналей. Треугольники AOB и COB равны по трём сторонам: AB = BC, AO = OC, BO общая. Поэтому смежные углы AOB и BOC равны. Их сумма 180°, значит каждый равен 90°.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме прямой угол при O отмечает перпендикулярность AC и BD.

\angle AOB

=\angle BOC

\frac{180}{2}

=90^\circ

AC\perp BD

Верно. У любого ромба это верно, даже если его диагонали имеют разные длины.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.»

Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ . В треугольнике 0° < γ < 180°, поэтому 0 < sin γ ≤ 1. Следовательно, S ≤ ab/2. Так как a и b положительны, ab/2 строго меньше ab. Значит, площадь всегда меньше произведения этих двух сторон.

Утверждение 3: поясняющий пример

Даже при максимальном синусе, когда γ = 90°, площадь составляет только половину произведения сторон. Для катетов 3 и 4 получаем 6 < 12.

S\le\frac{ab}{2}<ab

S

=\frac{3\cdot4}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $3\cdot4=12$ .

=6

3

\cdot4

=12

Верно. Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Верно
Ответ	23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
У любого ромба это верно, даже если его диагонали имеют разные длины.
Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники