Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Вертикальные углы равны.
Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 108490.
Ответ: 1.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Вертикальные углы равны.»
Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми и лежат друг напротив друга. Они равны. Каждый из двух вертикальных углов дополняет один и тот же соседний угол до 180°. Вычитая одинаковое число из 180°, получаем одинаковые значения.
Если соседний угол равен 150°, каждый из двух вертикальных углов равен 30°.
Верно. Не путайте вертикальные углы со смежными: у смежных равна 180° сумма, но сами они могут быть разными.
«Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.»
Взаимное положение окружностей зависит не только от радиусов, но и от расстояния между центрами. Разные радиусы не гарантируют пересечения. Можно взять окружности с одним центром: меньшая окажется внутри большей и общих точек не будет.
Две концентрические окружности радиусов 2 и 1 не пересекаются, хотя один радиус больше другого.
Неверно. Для двух общих точек нужно |R − r| < d < R + r, где d — расстояние между центрами.
«Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.»
Деление обеих диагоналей пополам — свойство и признак параллелограмма. У трапеции с разными основаниями точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований. Равенства половин в общем случае нет.
В трапеции с основаниями AD = 6 и BC = 2 подобные треугольники AOD и COB дают AO/OC = AD/BC = 3. Значит, AO и OC не равны.
Неверно. Пересечение диагоналей и деление их пополам — разные факты.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 1 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.