ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 9CE87741 из 150

Треугольники, окружности, прямые и углы

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9CE877.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Утверждение 2: Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Утверждение 3: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.»

Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ . В треугольнике 0° < γ < 180°, поэтому 0 < sin γ ≤ 1. Следовательно, S ≤ ab/2. Так как a и b положительны, ab/2 строго меньше ab. Значит, площадь всегда меньше произведения этих двух сторон.

Утверждение 1: поясняющий пример

Даже при максимальном синусе, когда γ = 90°, площадь составляет только половину произведения сторон. Для катетов 3 и 4 получаем 6 < 12.

S\le\frac{ab}{2}<ab

S

=\frac{3\cdot4}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $3\cdot4=12$ .

=6

3

\cdot4

=12

Верно. Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Утверждение 2: разбираем правило

«Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.»

Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В утверждении пропущен коэффициент 1/2. Вершина центрального угла находится в центре, вершина вписанного — на окружности, поэтому их градусные меры связаны удвоением.

Утверждение 2: контрпример

Если дуга AB имеет градусную меру 60°, центральный угол AOB равен 60°, а вписанный ACB, опирающийся на эту дугу, равен 30°.

\angle ACB

=\frac{60}{2}

=30^\circ

30^\circ\ne60^\circ

Неверно. Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.

Утверждение 3: разбираем правило

«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.»

Через точку плоскости вне прямой можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Из данной точки опускают перпендикуляр на прямую. Полученная прямая проходит через точку и пересекает исходную под углом 90°.

Утверждение 3: поясняющий пример

На схеме A — данная точка, H — основание перпендикуляра. Прямая AH искомая.

AH\perp a

Верно. Утверждение верно. Перпендикуляр здесь существует и единственен.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Верно
Ответ	13

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ .
Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Через точку плоскости вне прямой можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.
Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.
Утверждение верно. Перпендикуляр здесь существует и единственен.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники, окружности, прямые и углы