Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ EB6B6A128 из 150

Прямые и углы, треугольники, четырёхугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

  2. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.

  3. Любой квадрат является прямоугольником.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EB6B6A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
Утверждение 2
Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
Утверждение 3
Любой квадрат является прямоугольником.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.»

Две различные прямые плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу. Если обе прямые образуют с одной прямой угол 90°, они имеют одинаковое направление. Поэтому они не образуют между собой прямой угол.

Утверждение 1: контрпример

Две горизонтальные прямые обе перпендикулярны вертикальной, но между собой параллельны.

a⊥c,b⊥c,a∥ba\perp c,\quad b\perp c,\quad a\parallel b

Неверно. Правильный вывод — параллельность. Речь идёт о различных прямых одной плоскости.

К утверждению 1: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • a — нижняя; b — верхняя прямая
  • c — вертикальная: a ⟂ c и b ⟂ c
  • a ∥ b
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.»

Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Каждый угол 60° меньше 90°, то есть острый. Поскольку острыми являются все три угла, треугольник остроугольный.

Утверждение 2: поясняющий пример

Три равных угла получаем, разделив общую сумму 180° на 3.

1803\frac{180}{3}=60∘=60^\circ
60∘<90∘60^\circ<90^\circ

Верно. Утверждение верно для равностороннего треугольника; для произвольного равнобедренного — нет.

К утверждению 2: пример

Равносторонний треугольник со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = BC = CA = 2; все углы по 60°
Равносторонний треугольник со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Любой квадрат является прямоугольником.»

Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами. У квадрата все четыре угла прямые. Следовательно, каждый квадрат удовлетворяет определению прямоугольника. Равенство всех сторон — дополнительное свойство квадрата.

Утверждение 3: поясняющий пример

На схеме квадрат ABCD: каждый угол равен 90°, поэтому он одновременно является прямоугольником.

∠A\angle A=∠B=\angle B
=∠C=\angle C
=∠D=\angle D
=90∘=90^\circ

Верно. Обратное утверждение неверно: не каждый прямоугольник является квадратом.

К утверждению 3: пример

Квадрат со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2; BC = 2
Квадрат со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Верно
Ответ23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Две различные прямые плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60°.
  • Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Правильный вывод — параллельность. Речь идёт о различных прямых одной плоскости.
  • Утверждение верно для равностороннего треугольника; для произвольного равнобедренного — нет.
  • Обратное утверждение неверно: не каждый прямоугольник является квадратом.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)