Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 0DF13F131 из 150

Прямые и углы, четырёхугольники, треугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Смежные углы всегда равны.

  2. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

  3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0DF13F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Смежные углы всегда равны.
Утверждение 2
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
Утверждение 3
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 1: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

3030+150+150=180∘=180^\circ
30∘≠150∘30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

К утверждению 1: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • ∠BOC = ∠AOD = 30° — вертикальные
  • ∠AOC = 150° — смежный с углом BOC
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.»

Площадь квадрата со стороной a равна S=a2S=a^2. Смежные стороны имеют общую вершину. У квадрата обе такие стороны равны a, поэтому их произведение a·a равно a². Это в точности формула площади квадрата.

Утверждение 2: поясняющий пример

Например, если сторона квадрата равна 2, площадь равна 2·2 = 4.

SS=a=a⋅a\cdot a
=a2=a^2
22⋅2\cdot2=4=4

Верно. Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.

К утверждению 2: пример

Квадрат со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2; BC = 2
Квадрат со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.»

Любая сторона треугольника строго меньше суммы двух других сторон. Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, поэтому неравенство треугольника действует и для неё. Прямой угол не отменяет общего правила.

Утверждение 3: поясняющий пример

У треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза 5, а сумма катетов 7.

33+4+4=7=7
5<75<7

Верно. Гипотенуза больше каждого отдельного катета, но меньше их суммы.

К утверждению 3: пример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Верно
Ответ23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
  • Площадь квадрата со стороной a равна S=a2S=a^2.
  • Любая сторона треугольника строго меньше суммы двух других сторон.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
  • Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.
  • Гипотенуза больше каждого отдельного катета, но меньше их суммы.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)