Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 812F49.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.»
Любая сторона треугольника строго меньше суммы двух других сторон. Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, поэтому неравенство треугольника действует и для неё. Прямой угол не отменяет общего правила.
У треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза 5, а сумма катетов 7.
Верно. Гипотенуза больше каждого отдельного катета, но меньше их суммы.
«Любой прямоугольник можно вписать в окружность.»
Около прямоугольника можно описать окружность. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Поэтому их точка пересечения O находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин. Окружность с центром O и этим радиусом проходит через все вершины.
Для прямоугольника 4×2 все четыре расстояния от O до вершин равны √5.
Верно. Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.
«Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.»
Через одну точку плоскости проходит бесконечно много прямых. Одна точка не задаёт направление. Через неё можно провести горизонтальную, вертикальную и множество наклонных прямых.
На схеме три различные прямые проходят через O. Уже наличие двух разных прямых опровергает слово «только одну».
Неверно. Ровно одна прямая проходит через две различные заданные точки, а не через одну.
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.