Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ D68E7A39 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

  2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

  3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D68E7A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Утверждение 2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Утверждение 3
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.»

Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Ромб — частный случай параллелограмма, поэтому это свойство относится и к нему. Если диагонали AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме отмечены две равные половины каждой диагонали. Половины разных диагоналей не обязаны быть равны между собой.

AOAO=OC,BO=OC,\quad BO
=OD=OD

Верно. Утверждение верно. Оно не означает, что AC = BD.

К утверждению 1: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
  • AC = 2√3; BD = 2
  • AO = OC; BO = OD; AC ⟂ BD
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«В тупоугольном треугольнике все углы тупые.»

Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол, а два остальных — острые. Два угла больше 90° уже дали бы сумму больше 180°. Поэтому в треугольнике не может быть двух или трёх тупых углов.

Утверждение 2: контрпример

Пример тупоугольного треугольника: 120°, 30°, 30°. Только один из этих углов тупой.

120120+30+30+30+30=150=150+30+30

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180∘=180^\circ

Неверно. Слово «тупоугольный» означает наличие одного тупого угла, а не то, что все углы тупые.

К утверждению 2: контрпример

У тупоугольного треугольника два остальных угла острые.
Обозначения на чертеже
  • ∠B = 120° — тупой
  • ∠A = ∠C = 30° — острые
У тупоугольного треугольника два остальных угла острые.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.

Утверждение 3: контрпример

У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.

452\frac{45}{2}=22,5∘=22{,}5^\circ
∠ADB\angle ADB=180=180−90-90−22,5-22{,}5
=67,5∘=67{,}5^\circ

Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.

К утверждению 3: контрпример

Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Обозначения на чертеже
  • AB = AC = 1; ∠A = 90°; ∠B = ∠C = 45°
  • BD — биссектриса угла B, а не угла при вершине A
  • AD : DC = 1 : √2; ∠ADB = 67,5°
Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Неверно
Ответ1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  • Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол, а два остальных — острые.
  • Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Утверждение верно. Оно не означает, что AC = BD.
  • Слово «тупоугольный» означает наличие одного тупого угла, а не то, что все углы тупые.
  • Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)