ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 4F0CCE95 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4F0CCE.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Утверждение 2: Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Утверждение 3: Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.»

Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство верно у каждого прямоугольника независимо от отношения его сторон.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме точка O — общая середина обеих диагоналей.

AO

=OC,\quad BO

=OD

Верно. Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.

Утверждение 2: разбираем правило

«Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.»

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}h$ . В формуле участвуют оба основания, а не одно. Произведение одного основания на высоту не учитывает, что ширина трапеции меняется от одного основания к другому.

Утверждение 2: контрпример

При основаниях 6 и 2 и высоте 2 площадь равна 8. Произведения оснований на высоту дают 12 и 4 — оба не совпадают с площадью.

S

=\frac{6+2}{2}

\cdot2

=8

6

\cdot2

=12

2

\cdot2

=4

Неверно. Основание на высоту — формула параллелограмма. Для трапеции берём полусумму двух оснований.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.

Утверждение 3: контрпример

У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.

\frac{45}{2}

=22{,}5^\circ

\angle ADB

=180

-90

-22{,}5

=67{,}5^\circ

Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.

Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}h$ .
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.
Основание на высоту — формула параллелограмма. Для трапеции берём полусумму двух оснований.
Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники