Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
В параллелограмме есть два равных угла.
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 490485.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«В параллелограмме есть два равных угла.»
Противоположные углы параллелограмма равны. У любого параллелограмма есть не просто два равных угла, а две пары противоположных равных углов. Поэтому сформулированное более слабое утверждение тоже верно.
Например, у ромба на рисунке углы A и C равны 60°, углы B и D — 120°.
Верно. Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.
«Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.»
Для двух сторон a, b и угла γ между ними . В треугольнике 0° < γ < 180°, поэтому 0 < sin γ ≤ 1. Следовательно, S ≤ ab/2. Так как a и b положительны, ab/2 строго меньше ab. Значит, площадь всегда меньше произведения этих двух сторон.
Даже при максимальном синусе, когда γ = 90°, площадь составляет только половину произведения сторон. Для катетов 3 и 4 получаем 6 < 12.
Считаем числитель: .
Верно. Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.
«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.
При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.
Считаем числитель: .
Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.