Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Боковые стороны любой трапеции равны.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются
в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание DEAB20.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Боковые стороны любой трапеции равны.»
Равенство боковых сторон — дополнительное свойство равнобедренной трапеции. Определение обычной трапеции требует параллельности оснований, но не равенства боковых сторон. Поэтому у произвольной трапеции они могут различаться.
У прямоугольной трапеции с высотой 2 и разностью оснований 2 одна боковая сторона равна 2, другая — гипотенуза с катетами 2 и 2, то есть 2√2.
Неверно. Верно лишь для равнобедренной трапеции, а не для любой.
«Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.»
Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов соответствующего отрезка. Пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника равноудалено от всех трёх вершин. Через эти вершины можно провести окружность с данным центром и общим радиусом. Третий серединный перпендикуляр проходит через тот же центр.
Если O — точка пересечения серединных перпендикуляров, то OA = OB и OB = OC, следовательно, OA = OB = OC.
Верно. Описанная окружность проходит через вершины; вписанная касается сторон. Для их центров используются разные линии.
«Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.»
Признак по двум сторонам и углу требует, чтобы угол был между этими сторонами. В утверждении не указано, что равные углы заключены между равными сторонами. Если угол расположен иначе, на одном луче могут получиться два разных положения третьей вершины, дающие разные треугольники.
На схеме треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC и общий угол при A; кроме того, BC = DC = √10. Но AB = 3, AD = 5, поэтому треугольники не равны. Общий угол A не является углом между указанными сторонами AC и BC (или DC).
Неверно. Необходимо добавить слова «угол между ними». Сам по себе произвольный угол вместе с двумя сторонами недостаточен.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.