Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Любой квадрат является прямоугольником.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 278197.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.»
Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В утверждении пропущен коэффициент 1/2. Вершина центрального угла находится в центре, вершина вписанного — на окружности, поэтому их градусные меры связаны удвоением.
Если дуга AB имеет градусную меру 60°, центральный угол AOB равен 60°, а вписанный ACB, опирающийся на эту дугу, равен 30°.
Неверно. Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.
«Любой квадрат является прямоугольником.»
Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами. У квадрата все четыре угла прямые. Следовательно, каждый квадрат удовлетворяет определению прямоугольника. Равенство всех сторон — дополнительное свойство квадрата.
На схеме квадрат ABCD: каждый угол равен 90°, поэтому он одновременно является прямоугольником.
Верно. Обратное утверждение неверно: не каждый прямоугольник является квадратом.
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.
У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.
Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.