ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 449EAC87 из 150

Четырёхугольники и прямые и углы

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Смежные углы всегда равны.
Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 449EAC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 3.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Утверждение 2: Смежные углы всегда равны.
Утверждение 3: Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.»

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади. Диагональ трапеции образует два треугольника с основаниями, равными разным основаниям трапеции. Их высоты к этим основаниям одинаковы. Поэтому при разных основаниях площади получаются разными, а треугольники не могут быть равны.

Утверждение 1: контрпример

Возьмём трапецию с основаниями AD = 6, BC = 2 и высотой 2. Диагональ AC делит её на треугольники ACD и ABC. Их площади равны 6 и 2.

S_{ACD}

=\frac{6\cdot2}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $6\cdot2=12$ .

=6

S_{ABC}

=\frac{2\cdot2}{2}

=\frac{4}{2}

Считаем числитель: $2\cdot2=4$ .

=2

6\ne2

Неверно. Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 2: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

30

+150

=180^\circ

30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.»

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Если соседние стороны a и b, а угол между ними α, высота к a равна b·sin α. Подставляем её в S = ah и получаем S = ab·sin α.

Утверждение 3: поясняющий пример

Для ромба со стороной a это можно записать как S = a²·sin α.

h

=b\sin\alpha

S

=ah

=ab\sin\alpha

S

=a^2\sin\alpha

Верно. Утверждение верно; синус учитывает наклон одной стороны относительно другой.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Верно
Ответ	3

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади.
Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.
Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
Утверждение верно; синус учитывает наклон одной стороны относительно другой.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и прямые и углы