ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 45B9441 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 45B944.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
Утверждение 2: Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Утверждение 3: Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.»

Площадь квадрата со стороной a равна $S=a^2$ . Смежные стороны имеют общую вершину. У квадрата обе такие стороны равны a, поэтому их произведение a·a равно a². Это в точности формула площади квадрата.

Утверждение 1: поясняющий пример

Например, если сторона квадрата равна 2, площадь равна 2·2 = 4.

S

=a

\cdot a

=a^2

2

\cdot2

=4

Верно. Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.

Утверждение 2: разбираем правило

«Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.»

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади. Диагональ трапеции образует два треугольника с основаниями, равными разным основаниям трапеции. Их высоты к этим основаниям одинаковы. Поэтому при разных основаниях площади получаются разными, а треугольники не могут быть равны.

Утверждение 2: контрпример

Возьмём трапецию с основаниями AD = 6, BC = 2 и высотой 2. Диагональ AC делит её на треугольники ACD и ABC. Их площади равны 6 и 2.

S_{ACD}

=\frac{6\cdot2}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $6\cdot2=12$ .

=6

S_{ABC}

=\frac{2\cdot2}{2}

=\frac{4}{2}

Считаем числитель: $2\cdot2=4$ .

=2

6\ne2

Неверно. Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Для равенства по двум сторонам требуется ещё равенство угла между ними. Две стороны не определяют треугольник однозначно: угол между ними можно менять. Третья сторона при этом изменится. Значит, совпадения только двух сторон недостаточно.

Утверждение 3: контрпример

В одном треугольнике две стороны равны 2 и образуют угол 60°: он равносторонний, третья сторона 2. Во втором две стороны тоже равны 2, но угол между ними 90°, поэтому третья сторона 2√2.

c_1

=2

c_2

=\sqrt{2^2+2^2}

=2\sqrt{2}

2\ne2\sqrt{2}

Неверно. Нужно добавить условие об угле между данными сторонами либо использовать другой полный признак равенства.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Площадь квадрата со стороной a равна $S=a^2$ .
Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади.
Для равенства по двум сторонам требуется ещё равенство угла между ними.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.
Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.
Нужно добавить условие об угле между данными сторонами либо использовать другой полный признак равенства.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники