Окружности и четырёхугольники

Question

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Answer 1

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Утверждение 2: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 3: Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.»

Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра. Если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Расстояние между O и A равно длине этого отрезка, то есть R. Это следует из определения окружности.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме все точки окружности, включая A, находятся от O на расстоянии R.

A\in\omega\ \Longrightarrow\ OA

=R

Верно. Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.

Утверждение 2: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 2: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.»

В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна $S=\frac12d_1d_2\sin\varphi$ , где φ — угол между ними. Половины произведения диагоналей достаточно только при их перпендикулярности, когда sin φ = 1. Для произвольного параллелограмма этот дополнительный множитель пропускать нельзя.

Утверждение 3: контрпример

У прямоугольника 4×2 площадь равна 8. Обе диагонали равны √20, поэтому половина их произведения равна 10, а не 8.

S

=4

\cdot2

=8

\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}{2}

=\frac{20}{2}

Считаем числитель: $\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}=20$ .

=10

8\ne10

Неверно. Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Answer 2

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Answer 3

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Answer 4

Утверждение 1

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Утверждение 2

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Утверждение 3

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Answer 5