Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание B31B6F.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.»
Сумма трёх углов треугольника равна 180°. Предположим, что каждый угол больше 60°. Тогда сумма трёх углов была бы больше 60° + 60° + 60° = 180°, что невозможно. Значит, хотя бы один угол не больше 60°.
Граничный случай — равносторонний треугольник: все три угла равны 60°. Поэтому формулировка «не превышает» допускает и равенство.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Верно. Утверждение не говорит, что такой угол обязательно единственный: их может быть два или три.
«Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.»
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Рассмотрим треугольники ABC и BAD: AB общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, AC = BD по условию. Они равны по трём сторонам, поэтому соседние углы ABC и BAD равны. Их сумма 180°, значит каждый равен 90°.
Появление одного прямого угла делает все углы параллелограмма прямыми.
Верно. Наличие равных диагоналей не требует равенства соседних сторон, поэтому квадрат из этого ещё не следует.
«Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.»
Две различные прямые плоскости, параллельные одной третьей прямой, параллельны друг другу. Параллельность третьей прямой задаёт одинаковое направление. Две такие прямые не образуют угол 90°, поэтому вывод о перпендикулярности неверен.
Три разные горизонтальные прямые на рисунке попарно параллельны. Первые две параллельны третьей, но не перпендикулярны друг другу.
Неверно. Правильный вывод — параллельность, а не перпендикулярность.
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.