Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
Диагонали ромба перпендикулярны.
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 8AB61E.
Ответ: 23.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.»
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. В утверждении числитель и знаменатель переставлены местами. Гипотенуза длиннее катета, поэтому предлагаемое отношение было бы больше 1, а косинус острого угла находится между 0 и 1.
В треугольнике с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 для угла при A прилежащий катет AC = 4. Косинус равен 4/5, а не 5/4.
Неверно. Запоминайте порядок: катет в числителе, гипотенуза в знаменателе.
«Диагонали ромба перпендикулярны.»
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Пусть O — пересечение диагоналей. Треугольники AOB и COB равны по трём сторонам: AB = BC, AO = OC, BO общая. Поэтому смежные углы AOB и BOC равны. Их сумма 180°, значит каждый равен 90°.
На схеме прямой угол при O отмечает перпендикулярность AC и BD.
Верно. У любого ромба это верно, даже если его диагонали имеют разные длины.
«Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.»
Через одну точку можно провести бесконечно много прямых разных направлений. Чтобы подтвердить утверждение о существовании трёх прямых, достаточно построить один пример. Возьмём горизонтальную, вертикальную и наклонную прямые через одну точку O.
На схеме три различные прямые действительно проходят через O.
Верно. Слово «существуют» не означает, что любые три прямые обязательно имеют общую точку.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 23 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.