Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 9B1490106 из 150

Окружности и четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Все диаметры окружности равны между собой.

  2. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

  3. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9B1490.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Все диаметры окружности равны между собой.
Утверждение 2
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Утверждение 3
Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Все диаметры окружности равны между собой.»

Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.

Утверждение 1: поясняющий пример

Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.

dd=R=R+R+R
=2R=2R
11+1+1=2=2

Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.

К утверждению 1: пример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AC и BD — диаметры; AC = BD = 2R
  • Оба проходят через центр O
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.»

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади. Диагональ трапеции образует два треугольника с основаниями, равными разным основаниям трапеции. Их высоты к этим основаниям одинаковы. Поэтому при разных основаниях площади получаются разными, а треугольники не могут быть равны.

Утверждение 2: контрпример

Возьмём трапецию с основаниями AD = 6, BC = 2 и высотой 2. Диагональ AC делит её на треугольники ACD и ABC. Их площади равны 6 и 2.

SACDS_{ACD}=6⋅22=\frac{6\cdot2}{2}
=122=\frac{12}{2}

Считаем числитель: 6⋅2=126\cdot2=12.

=6=6
SABCS_{ABC}=2⋅22=\frac{2\cdot2}{2}
=42=\frac{4}{2}

Считаем числитель: 2⋅2=42\cdot2=4.

=2=2
6≠26\ne2

Неверно. Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.

К утверждению 2: контрпример

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Обозначения на чертеже
  • AD = 6; BC = 2; высота 2
  • Площадь ACD: 6
  • Площадь ABC: 2
Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.»

Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на соответствующую высоту: S = ah. Соседняя наклонная сторона обычно не равна высоте. Произведение соседних сторон даёт площадь только при прямом угле между ними. Для общего случая нужно учитывать синус угла.

Утверждение 3: контрпример

У параллелограмма со сторонами 4 и 2 и углом 30° высота к стороне 4 равна 1. Поэтому площадь 4, а произведение сторон 8.

hh=22=\frac{2}{2}
=1=1
SS=4=4⋅1\cdot1
=4=4
44⋅2\cdot2=8=8
4≠84\ne8

Неверно. Правильно: S=absin⁡αS=ab\sin\alpha, либо основание на высоту.

К утверждению 3: контрпример

Высота параллелограмма отличается от наклонной стороны.
Обозначения на чертеже
  • AD = 4; AB = 2
  • BH = 1 — высота; S = 4 · 1 = 4
Высота параллелограмма отличается от наклонной стороны.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Неверно
Ответ1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов.
  • Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади.
  • Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на соответствующую высоту: S = ah.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
  • Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.
  • Правильно: S=absin⁡αS=ab\sin\alpha, либо основание на высоту.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)