Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Все диаметры окружности равны между собой.
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6D3731.
Ответ: 23.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.»
Деление обеих диагоналей пополам — свойство и признак параллелограмма. У трапеции с разными основаниями точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований. Равенства половин в общем случае нет.
В трапеции с основаниями AD = 6 и BC = 2 подобные треугольники AOD и COB дают AO/OC = AD/BC = 3. Значит, AO и OC не равны.
Неверно. Пересечение диагоналей и деление их пополам — разные факты.
«Все диаметры окружности равны между собой.»
Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.
Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.
Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
«Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.»
Сумма трёх углов треугольника равна 180°. Предположим, что каждый угол больше 60°. Тогда сумма трёх углов была бы больше 60° + 60° + 60° = 180°, что невозможно. Значит, хотя бы один угол не больше 60°.
Граничный случай — равносторонний треугольник: все три угла равны 60°. Поэтому формулировка «не превышает» допускает и равенство.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Верно. Утверждение не говорит, что такой угол обязательно единственный: их может быть два или три.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 23 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.