Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
Все диаметры окружности равны между собой.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3A1FF8.
Ответ: 13.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.»
В невырожденном треугольнике сумма любых двух сторон строго больше третьей. Две короткие стороны 1 и 2 имеют суммарную длину 3. Они не могут соединить концы отрезка длиной 4, поэтому замкнуть треугольник невозможно.
Проверим сумму двух меньших чисел. Она меньше самого большого.
Верно. Такого треугольника не существует. Для трёх положительных чисел достаточно проверить, что два меньших в сумме больше наибольшего.
«Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.»
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; биссектриса делит угол пополам. Это разные определения. В общем треугольнике медиана не обязана делить угол пополам. Если медиана одновременно биссектриса, две стороны у этой вершины должны быть равны.
В прямоугольном треугольнике с катетами CA = 4 и CB = 3 проведём медиану CM к гипотенузе. AM = MB, но CA ≠ CB. По свойству биссектрисы отношение AM/MB должно было бы равняться CA/CB = 4/3, а оно равно 1.
Неверно. Медиана из вершины равнобедренного треугольника к основанию действительно является биссектрисой; это частный случай.
«Все диаметры окружности равны между собой.»
Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.
Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.
Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 13 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.