Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание C467D2.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.»
Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон. Расстояние от точки до стороны угла измеряют по перпендикуляру к прямой этой стороны. Перпендикуляры из точки биссектрисы образуют два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными острыми углами. Эти треугольники равны, значит равны и перпендикуляры.
На схеме P лежит на биссектрисе, PH и PK — перпендикуляры к сторонам. Получаем PH = PK.
Верно. Нельзя вместо расстояний сравнивать произвольные наклонные отрезки от точки к сторонам.
«Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.»
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Если дополнительно AB = BC, то через эти равенства получаем одинаковую длину всех четырёх сторон.
Объединим данные равенства в одну цепочку.
Верно. Все стороны параллелограмма стали равными, значит по определению это ромб.
«Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.»
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Радиус заканчивается в точке касания и образует с касательной прямой угол. Поэтому вместо «параллельна» должно стоять «перпендикулярна».
Пусть T — точка касания, O — центр. Угол между OT и касательной равен 90°.
Неверно. Параллельные различные прямые не пересекаются, тогда как радиус и касательная имеют общую точку T.
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.