Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 38B3E5114 из 150

Окружности, четырёхугольники, треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

  2. В параллелограмме есть два равных угла.

  3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 38B3E5.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
Утверждение 2
В параллелограмме есть два равных угла.
Утверждение 3
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.»

Точка пересечения окружностей находится от каждого центра на расстоянии радиуса соответствующей окружности. Если радиусы разные, эти расстояния разные. Наличие общей точки не требует равенства радиусов.

Утверждение 1: контрпример

Пусть окружности радиусов 3 и 2 пересекаются в X. Тогда OX = 3, PX = 2, так что X не равноудалена от O и P.

OXOX=3,PX=3,\quad PX
=2=2
3≠23\ne2

Неверно. Равноудалённость верна для точки пересечения окружностей равных радиусов. В условии такого ограничения нет.

К утверждению 1: контрпример

Пересечение окружностей разных радиусов.
Обозначения на чертеже
  • OX = 3 — радиус первой окружности
  • PX = 2 — радиус второй окружности
  • X — общая точка; расстояния до центров различны
Пересечение окружностей разных радиусов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«В параллелограмме есть два равных угла.»

Противоположные углы параллелограмма равны. У любого параллелограмма есть не просто два равных угла, а две пары противоположных равных углов. Поэтому сформулированное более слабое утверждение тоже верно.

Утверждение 2: поясняющий пример

Например, у ромба на рисунке углы A и C равны 60°, углы B и D — 120°.

∠A\angle A=∠C,∠B=\angle C,\quad\angle B
=∠D=\angle D

Верно. Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.

К утверждению 2: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.»

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты можно взять основанием и высотой, потому что они перпендикулярны. Но в формуле площади любого треугольника остаётся деление на 2.

Утверждение 3: контрпример

При катетах 3 и 4 площадь равна 6, а произведение катетов равно 12.

SS=3⋅42=\frac{3\cdot4}{2}
=122=\frac{12}{2}

Считаем числитель: 3⋅4=123\cdot4=12.

=6=6
33⋅4\cdot4=12=12
6≠126\ne12

Неверно. Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.

К утверждению 3: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Точка пересечения окружностей находится от каждого центра на расстоянии радиуса соответствующей окружности.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Равноудалённость верна для точки пересечения окружностей равных радиусов. В условии такого ограничения нет.
  • Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.
  • Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)