Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ B99F66119 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. В параллелограмме есть два равных угла.

  2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

  3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B99F66.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
В параллелограмме есть два равных угла.
Утверждение 2
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Утверждение 3
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«В параллелограмме есть два равных угла.»

Противоположные углы параллелограмма равны. У любого параллелограмма есть не просто два равных угла, а две пары противоположных равных углов. Поэтому сформулированное более слабое утверждение тоже верно.

Утверждение 1: поясняющий пример

Например, у ромба на рисунке углы A и C равны 60°, углы B и D — 120°.

∠A\angle A=∠C,∠B=\angle C,\quad\angle B
=∠D=\angle D

Верно. Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.

К утверждению 1: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.»

В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины между равными сторонами является медианой к основанию. Это свойство одной особой биссектрисы, а не каждой. Биссектрисы углов при основании в неравностороннем треугольнике обычно делят противоположные стороны на неравные части.

Утверждение 2: контрпример

Возьмём прямоугольный равнобедренный треугольник с AB = AC = 1 и BC = √2. Биссектриса BD угла при B делит AC в отношении AD/DC = AB/BC = 1/√2, поэтому D не середина AC.

ADDC\frac{AD}{DC}=ABBC=\frac{AB}{BC}
=12=\frac1{\sqrt2}
12≠1\frac1{\sqrt2}\ne1

Неверно. Верным было бы утверждение о биссектрисе, проведённой к основанию из противоположной вершины.

К утверждению 2: контрпример

Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Обозначения на чертеже
  • AB = AC = 1; ∠A = 90°; ∠B = ∠C = 45°
  • BD — биссектриса угла B, а не угла при вершине A
  • AD : DC = 1 : √2; ∠ADB = 67,5°
Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.»

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты можно взять основанием и высотой, потому что они перпендикулярны. Но в формуле площади любого треугольника остаётся деление на 2.

Утверждение 3: контрпример

При катетах 3 и 4 площадь равна 6, а произведение катетов равно 12.

SS=3⋅42=\frac{3\cdot4}{2}
=122=\frac{12}{2}

Считаем числитель: 3⋅4=123\cdot4=12.

=6=6
33⋅4\cdot4=12=12
6≠126\ne12

Неверно. Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.

К утверждению 3: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Неверно
Ответ1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины между равными сторонами является медианой к основанию.
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.
  • Верным было бы утверждение о биссектрисе, проведённой к основанию из противоположной вершины.
  • Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)