Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ BEC1B647 из 150

Прямые и углы, четырёхугольники, окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

  2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

  3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BEC1B6.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Утверждение 2
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Утверждение 3
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.»

Смежные углы в сумме равны 180°. Если один угол меньше 90°, то после его вычитания из 180° останется больше 90°. Поэтому смежный с острым угол будет тупым.

Утверждение 1: контрпример

Если острый угол равен 30°, смежный равен 150°.

180180−30-30=150∘=150^\circ
150∘>90∘150^\circ>90^\circ

Неверно. Смежный с острым угол — тупой, а не острый.

К утверждению 1: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • ∠BOC = ∠AOD = 30° — вертикальные
  • ∠AOC = 150° — смежный с углом BOC
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.»

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Пусть диагонали пересекаются в O. Они делятся пополам. В прямоугольных треугольниках AOB и COB катет AO = OC, катет BO общий. Треугольники равны, поэтому AB = BC. У параллелограмма с равными соседними сторонами равны все стороны — это ромб.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме прямой угол при O позволяет применить равенство прямоугольных треугольников по двум катетам.

AOAO=OC,BO=OC,\quad BO
=BO=BO
ABAB=BC=BC
ABAB=BC=BC
=CD=CD
=DA=DA

Верно. Существенно, что исходная фигура — параллелограмм. Одних перпендикулярных диагоналей у произвольного четырёхугольника недостаточно.

К утверждению 2: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
  • AC = 2√3; BD = 2
  • AO = OC; BO = OD; AC ⟂ BD
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.»

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Радиус заканчивается в точке касания и образует с касательной прямой угол. Поэтому вместо «параллельна» должно стоять «перпендикулярна».

Утверждение 3: контрпример

Пусть T — точка касания, O — центр. Угол между OT и касательной равен 90°.

OT⊥tOT\perp t

Неверно. Параллельные различные прямые не пересекаются, тогда как радиус и касательная имеют общую точку T.

К утверждению 3: контрпример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AB — касательная в точке T
  • OT — радиус; OT ⟂ AB
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Смежные углы в сумме равны 180°.
  • Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
  • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Смежный с острым угол — тупой, а не острый.
  • Существенно, что исходная фигура — параллелограмм. Одних перпендикулярных диагоналей у произвольного четырёхугольника недостаточно.
  • Параллельные различные прямые не пересекаются, тогда как радиус и касательная имеют общую точку T.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)