Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ D5367940 из 150

Четырёхугольники и окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

  2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

  3. Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D53679.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Утверждение 2
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Утверждение 3
Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.»

Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Ромб — частный случай параллелограмма, поэтому это свойство относится и к нему. Если диагонали AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме отмечены две равные половины каждой диагонали. Половины разных диагоналей не обязаны быть равны между собой.

AOAO=OC,BO=OC,\quad BO
=OD=OD

Верно. Утверждение верно. Оно не означает, что AC = BD.

К утверждению 1: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
  • AC = 2√3; BD = 2
  • AO = OC; BO = OD; AC ⟂ BD
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.»

Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В утверждении пропущен коэффициент 1/2. Вершина центрального угла находится в центре, вершина вписанного — на окружности, поэтому их градусные меры связаны удвоением.

Утверждение 2: контрпример

Если дуга AB имеет градусную меру 60°, центральный угол AOB равен 60°, а вписанный ACB, опирающийся на эту дугу, равен 30°.

∠ACB\angle ACB=602=\frac{60}{2}
=30∘=30^\circ
30∘≠60∘30^\circ\ne60^\circ

Неверно. Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.

К утверждению 2: контрпример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • Центральный угол AOB = 60°
  • Вписанный угол ACB = 30°
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.»

Взаимное положение окружностей зависит не только от радиусов, но и от расстояния между центрами. Разные радиусы не гарантируют пересечения. Можно взять окружности с одним центром: меньшая окажется внутри большей и общих точек не будет.

Утверждение 3: контрпример

Две концентрические окружности радиусов 2 и 1 не пересекаются, хотя один радиус больше другого.

RR=2>1=2>1
=r,O1=r,\quad O_1
=O2=O_2

Неверно. Для двух общих точек нужно |R − r| < d < R + r, где d — расстояние между центрами.

К утверждению 3: контрпример

Контрпример: концентрические окружности разных радиусов.
Обозначения на чертеже
  • Большая окружность: радиус 2
  • Малая окружность: радиус 1
  • Центр общий; окружности не пересекаются
Контрпример: концентрические окружности разных радиусов.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Неверно
Ответ1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  • Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  • Взаимное положение окружностей зависит не только от радиусов, но и от расстояния между центрами.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Утверждение верно. Оно не означает, что AC = BD.
  • Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.
  • Для двух общих точек нужно |R − r| < d < R + r, где d — расстояние между центрами.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)