ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ B51738136 из 150

Четырёхугольники, прямые и углы, треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
Смежные углы всегда равны.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B51738.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
Утверждение 2: Смежные углы всегда равны.
Утверждение 3: Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.»

Равные диагонали параллелограмма дают прямоугольник, перпендикулярные — ромб. По первому условию все углы параллелограмма прямые, по второму — все стороны равны. Фигура, одновременно являющаяся прямоугольником и ромбом, является квадратом.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме у квадрата AC = BD и AC ⟂ BD; обе части условия используются вместе.

AC

=BD,\quad AC\perp BD

AB

=BC

=CD

=DA,\quad\angle A

=90^\circ

Верно. Существенно, что исходная фигура — параллелограмм. Для произвольного четырёхугольника двух условий о диагоналях недостаточно.

Утверждение 2: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 2: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

30

+150

=180^\circ

30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

Утверждение 3: разбираем правило

«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.

Утверждение 3: контрпример

У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.

\frac{45}{2}

=22{,}5^\circ

\angle ADB

=180

-90

-22{,}5

=67{,}5^\circ

Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.

Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равные диагонали параллелограмма дают прямоугольник, перпендикулярные — ромб.
Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Существенно, что исходная фигура — параллелограмм. Для произвольного четырёхугольника двух условий о диагоналях недостаточно.
Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники, прямые и углы, треугольники