Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.
В любой прямоугольник можно вписать окружность.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание E4BA92.
Ответ: 1.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.»
Через точку плоскости вне прямой можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Из данной точки опускают перпендикуляр на прямую. Полученная прямая проходит через точку и пересекает исходную под углом 90°.
На схеме A — данная точка, H — основание перпендикуляра. Прямая AH искомая.
Верно. Утверждение верно. Перпендикуляр здесь существует и единственен.
«В любой прямоугольник можно вписать окружность.»
В прямоугольник можно вписать окружность только тогда, когда он является квадратом. Окружность должна касаться двух горизонтальных и двух вертикальных сторон. Её диаметр должен одновременно равняться высоте и ширине прямоугольника. Если они различны, это невозможно.
В прямоугольнике 4×2 диаметр должен был бы одновременно равняться 4 и 2.
Неверно. Вписать прямоугольник в окружность можно всегда; вписать окружность в прямоугольник — только в квадрат. Это разные задачи.
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.»
В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины между равными сторонами является медианой к основанию. Это свойство одной особой биссектрисы, а не каждой. Биссектрисы углов при основании в неравностороннем треугольнике обычно делят противоположные стороны на неравные части.
Возьмём прямоугольный равнобедренный треугольник с AB = AC = 1 и BC = √2. Биссектриса BD угла при B делит AC в отношении AD/DC = AB/BC = 1/√2, поэтому D не середина AC.
Неверно. Верным было бы утверждение о биссектрисе, проведённой к основанию из противоположной вершины.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 1 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.