Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание D32E6D.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.»
Через одну точку плоскости проходит бесконечно много прямых. Одна точка не задаёт направление. Через неё можно провести горизонтальную, вертикальную и множество наклонных прямых.
На схеме три различные прямые проходят через O. Уже наличие двух разных прямых опровергает слово «только одну».
Неверно. Ровно одна прямая проходит через две различные заданные точки, а не через одну.
«Любой прямоугольник можно вписать в окружность.»
Около прямоугольника можно описать окружность. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Поэтому их точка пересечения O находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин. Окружность с центром O и этим радиусом проходит через все вершины.
Для прямоугольника 4×2 все четыре расстояния от O до вершин равны √5.
Верно. Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.
У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.
Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.