Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 460869.
Ответ: 13.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.»
Сумма трёх углов треугольника равна 180°. Предположим, что каждый угол больше 60°. Тогда сумма трёх углов была бы больше 60° + 60° + 60° = 180°, что невозможно. Значит, хотя бы один угол не больше 60°.
Граничный случай — равносторонний треугольник: все три угла равны 60°. Поэтому формулировка «не превышает» допускает и равенство.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Верно. Утверждение не говорит, что такой угол обязательно единственный: их может быть два или три.
«Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.»
Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В утверждении пропущен коэффициент 1/2. Вершина центрального угла находится в центре, вершина вписанного — на окружности, поэтому их градусные меры связаны удвоением.
Если дуга AB имеет градусную меру 60°, центральный угол AOB равен 60°, а вписанный ACB, опирающийся на эту дугу, равен 30°.
Неверно. Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.
«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.»
Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство верно у каждого прямоугольника независимо от отношения его сторон.
На схеме точка O — общая середина обеих диагоналей.
Верно. Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 13 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.