Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 1BC48B143 из 150

Треугольники и четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

  2. В параллелограмме есть два равных угла.

  3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1BC48B.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Утверждение 2
В параллелограмме есть два равных угла.
Утверждение 3
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.»

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника. У остроугольного треугольника этот центр внутри, у прямоугольного — в середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи. Слово «всегда» делает данное утверждение неверным.

Утверждение 1: контрпример

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Его гипотенуза равна 5, а центр описанной окружности O — середина гипотенузы. Он лежит на стороне, а не внутри.

ABAB=32+42=\sqrt{3^2+4^2}
=5=5
RR=52=\frac{5}{2}
=2,5=2{,}5

Неверно. Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».

К утверждению 1: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
  • OA = OB = OC = 2,5
  • O лежит на гипотенузе AB
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«В параллелограмме есть два равных угла.»

Противоположные углы параллелограмма равны. У любого параллелограмма есть не просто два равных угла, а две пары противоположных равных углов. Поэтому сформулированное более слабое утверждение тоже верно.

Утверждение 2: поясняющий пример

Например, у ромба на рисунке углы A и C равны 60°, углы B и D — 120°.

∠A\angle A=∠C,∠B=\angle C,\quad\angle B
=∠D=\angle D

Верно. Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.

К утверждению 2: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.»

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты можно взять основанием и высотой, потому что они перпендикулярны. Но в формуле площади любого треугольника остаётся деление на 2.

Утверждение 3: контрпример

При катетах 3 и 4 площадь равна 6, а произведение катетов равно 12.

SS=3⋅42=\frac{3\cdot4}{2}
=122=\frac{12}{2}

Считаем числитель: 3⋅4=123\cdot4=12.

=6=6
33⋅4\cdot4=12=12
6≠126\ne12

Неверно. Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.

К утверждению 3: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».
  • Соседние углы могут различаться; для ответа достаточно противоположных.
  • Произведение катетов без деления на 2 даёт площадь прямоугольника, состоящего из двух таких треугольников.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)