ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 0D771553 из 150

Прямые и углы, окружности, четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Смежные углы всегда равны.
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0D7715.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Смежные углы всегда равны.
Утверждение 2: Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Утверждение 3: Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 1: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

30

+150

=180^\circ

30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

Утверждение 2: разбираем правило

«Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.»

Из точки вне окружности к ней можно провести ровно две касательные. Точка вне окружности находится от центра дальше радиуса. Существуют две точки касания по разные стороны прямой, соединяющей данную точку с центром. Радиусы к точкам касания перпендикулярны соответствующим касательным.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме P — внешняя точка, A и B — точки касания. Прямые PA и PB различны, обе касаются окружности в одной точке.

OA\perp PA,\quad OB\perp PB

PA

=PB

Верно. Условие «вне окружности» существенно: из точки на окружности проводится одна касательная, из внутренней точки — ни одной.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.»

В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна $S=\frac12d_1d_2\sin\varphi$ , где φ — угол между ними. Половины произведения диагоналей достаточно только при их перпендикулярности, когда sin φ = 1. Для произвольного параллелограмма этот дополнительный множитель пропускать нельзя.

Утверждение 3: контрпример

У прямоугольника 4×2 площадь равна 8. Обе диагонали равны √20, поэтому половина их произведения равна 10, а не 8.

S

=4

\cdot2

=8

\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}{2}

=\frac{20}{2}

Считаем числитель: $\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}=20$ .

=10

8\ne10

Неверно. Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
Из точки вне окружности к ней можно провести ровно две касательные.
В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна $S=\frac12d_1d_2\sin\varphi$ , где φ — угол между ними.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
Условие «вне окружности» существенно: из точки на окружности проводится одна касательная, из внутренней точки — ни одной.
Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Прямые и углы, окружности, четырёхугольники