ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 59CF4E7 из 150

Треугольники и четырёхугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 59CF4E.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Утверждение 2: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 3: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.»

Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ . В треугольнике 0° < γ < 180°, поэтому 0 < sin γ ≤ 1. Следовательно, S ≤ ab/2. Так как a и b положительны, ab/2 строго меньше ab. Значит, площадь всегда меньше произведения этих двух сторон.

Утверждение 1: поясняющий пример

Даже при максимальном синусе, когда γ = 90°, площадь составляет только половину произведения сторон. Для катетов 3 и 4 получаем 6 < 12.

S\le\frac{ab}{2}<ab

S

=\frac{3\cdot4}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $3\cdot4=12$ .

=6

3

\cdot4

=12

Верно. Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Утверждение 2: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 2: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.»

Два треугольника подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого. Третий угол каждого треугольника находится как 180° минус сумма первых двух. Поэтому третьи углы тоже равны. Это признак подобия по двум углам.

Утверждение 3: поясняющий пример

Если у обоих треугольников есть углы 60° и 60°, третий угол у каждого тоже 60°. Стороны могут иметь разные длины, но будут пропорциональны.

180

-60

-60

=120

-60

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=60^\circ

Верно. Вывод именно о подобии. Равенство треугольников без условия об одинаковом размере не следует.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Верно
Ответ	13

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Для двух сторон a, b и угла γ между ними $S=\frac12ab\sin\gamma$ .
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .
Два треугольника подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.
Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Вывод именно о подобии. Равенство треугольников без условия об одинаковом размере не следует.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники и четырёхугольники