Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 09ACB6.
Ответ: 3.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.
У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.
Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
«Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.»
Равные диагонали параллелограмма — признак прямоугольника. Прямоугольник может иметь две разные соседние стороны. Тогда он не является ромбом, хотя диагонали у него равны.
У прямоугольника 4×2 обе диагонали равны √20. Но соседние стороны 4 и 2 различны, поэтому это не ромб.
Неверно. Для ромба подходят перпендикулярные диагонали параллелограмма; для прямоугольника — равные.
«Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны. Утверждение требует лишь существования хотя бы одного такого прямоугольника. Подходит любой квадрат, поэтому существование доказано.
Возьмём квадрат со стороной 2. Он имеет четыре прямых угла, а диагонали пересекаются под углом 90°.
Верно. Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.
1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 3 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.