Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 462D7A34 из 150

Четырёхугольники и окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

  2. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

  3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 462D7A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 3.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Утверждение 2
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Утверждение 3
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.»

Деление обеих диагоналей пополам — свойство и признак параллелограмма. У трапеции с разными основаниями точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований. Равенства половин в общем случае нет.

Утверждение 1: контрпример

В трапеции с основаниями AD = 6 и BC = 2 подобные треугольники AOD и COB дают AO/OC = AD/BC = 3. Значит, AO и OC не равны.

AOOC\frac{AO}{OC}=ADBC=\frac{AD}{BC}
=62=\frac{6}{2}
=3=3
3≠13\ne1

Неверно. Пересечение диагоналей и деление их пополам — разные факты.

К утверждению 1: контрпример

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Обозначения на чертеже
  • AD = 6; BC = 2; высота 2
  • AC = BD = 2√5
  • AO : OC = 3 : 1
Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.»

В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна S=12d1d2sin⁡φS=\frac12d_1d_2\sin\varphi, где φ — угол между ними. Половины произведения диагоналей достаточно только при их перпендикулярности, когда sin φ = 1. Для произвольного параллелограмма этот дополнительный множитель пропускать нельзя.

Утверждение 2: контрпример

У прямоугольника 4×2 площадь равна 8. Обе диагонали равны √20, поэтому половина их произведения равна 10, а не 8.

SS=4=4⋅2\cdot2
=8=8
20⋅202\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}{2}
=202=\frac{20}{2}

Считаем числитель: 20⋅20=20\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}=20.

=10=10
8≠108\ne10

Неверно. Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.

К утверждению 2: контрпример

Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 4; BC = 2
  • AC = BD = 2√5
  • O — середина обеих диагоналей
Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.»

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Диаметр делит окружность на две полуокружности по 180°. Вписанный угол, опирающийся на концы диаметра, опирается на одну из этих дуг и равен половине 180°.

Утверждение 3: поясняющий пример

Если AB — диаметр, а C — другая точка окружности, то угол ACB равен 90°.

∠ACB\angle ACB=1802=\frac{180}{2}
=90∘=90^\circ

Верно. Утверждение верно при условии, что вершина C лежит на окружности и отличается от концов диаметра.

К утверждению 3: пример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AB — диаметр
  • ∠ACB = 90°
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Верно
Ответ3

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Деление обеих диагоналей пополам — свойство и признак параллелограмма.
  • В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна S=12d1d2sin⁡φS=\frac12d_1d_2\sin\varphi, где φ — угол между ними.
  • Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Пересечение диагоналей и деление их пополам — разные факты.
  • Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.
  • Утверждение верно при условии, что вершина C лежит на окружности и отличается от концов диаметра.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)