Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3F9748.
Ответ: 12.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.»
Любая сторона треугольника строго меньше суммы двух других сторон. Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, поэтому неравенство треугольника действует и для неё. Прямой угол не отменяет общего правила.
У треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза 5, а сумма катетов 7.
Верно. Гипотенуза больше каждого отдельного катета, но меньше их суммы.
«Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.»
Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон. Расстояние от точки до стороны угла измеряют по перпендикуляру к прямой этой стороны. Перпендикуляры из точки биссектрисы образуют два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными острыми углами. Эти треугольники равны, значит равны и перпендикуляры.
На схеме P лежит на биссектрисе, PH и PK — перпендикуляры к сторонам. Получаем PH = PK.
Верно. Нельзя вместо расстояний сравнивать произвольные наклонные отрезки от точки к сторонам.
«Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.»
Равные диагонали параллелограмма — признак прямоугольника. Прямоугольник может иметь две разные соседние стороны. Тогда он не является ромбом, хотя диагонали у него равны.
У прямоугольника 4×2 обе диагонали равны √20. Но соседние стороны 4 и 2 различны, поэтому это не ромб.
Неверно. Для ромба подходят перпендикулярные диагонали параллелограмма; для прямоугольника — равные.
1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 12 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.