Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2C9984.
Ответ: 3.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.»
В прямоугольном треугольнике c² = a² + b²; сама гипотенуза не равна сумме катетов. Теорема Пифагора связывает квадраты сторон. Кроме того, по неравенству треугольника гипотенуза строго меньше суммы катетов.
Для катетов 3 и 4 гипотенуза равна 5, а сумма катетов — 7.
Неверно. Нельзя убирать квадраты из теоремы Пифагора, просто складывая длины.
«Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.»
Сумма смежных углов равна 180°, но это не запрещает двум углам быть прямыми. Слово «всегда» требует, чтобы острый и тупой углы получались в каждом случае. Достаточно найти другой допустимый случай: два смежных угла по 90°.
Перпендикуляр к прямой образует с её двумя противоположными лучами два прямых смежных угла.
Неверно. Смежные углы либо оба прямые, либо один острый, а другой тупой.
«Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.»
Из точки вне окружности к ней можно провести ровно две касательные. Точка вне окружности находится от центра дальше радиуса. Существуют две точки касания по разные стороны прямой, соединяющей данную точку с центром. Радиусы к точкам касания перпендикулярны соответствующим касательным.
На схеме P — внешняя точка, A и B — точки касания. Прямые PA и PB различны, обе касаются окружности в одной точке.
Верно. Условие «вне окружности» существенно: из точки на окружности проводится одна касательная, из внутренней точки — ни одной.
1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 3 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.