Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ DAB4B750 из 150

Треугольники, окружности, четырёхугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Все высоты равностороннего треугольника равны.

  2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

  3. В любой ромб можно вписать окружность.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание DAB4B7.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Все высоты равностороннего треугольника равны.
Утверждение 2
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Утверждение 3
В любой ромб можно вписать окружность.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Все высоты равностороннего треугольника равны.»

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому и соответствующие высоты равны. Одну и ту же площадь можно выразить через любую сторону и проведённую к ней высоту. Поскольку основания одинаковой длины, высоты во всех трёх формулах тоже одинаковы.

Утверждение 1: поясняющий пример

Если сторона равна a, то из S = ah/2 для каждой высоты получаем h = 2S/a.

h1h_1=2Sa,h2=\frac{2S}{a},\quad h_2
=2Sa,h3=\frac{2S}{a},\quad h_3
=2Sa=\frac{2S}{a}
h1h_1=h2=h_2
=h3=h_3

Верно. Утверждение верно. В произвольном треугольнике высоты обычно различаются.

К утверждению 1: пример

Равносторонний треугольник со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = BC = CA = 2; все углы по 60°
  • CH = AK = BM = √3
Равносторонний треугольник со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.»

Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В утверждении пропущен коэффициент 1/2. Вершина центрального угла находится в центре, вершина вписанного — на окружности, поэтому их градусные меры связаны удвоением.

Утверждение 2: контрпример

Если дуга AB имеет градусную меру 60°, центральный угол AOB равен 60°, а вписанный ACB, опирающийся на эту дугу, равен 30°.

∠ACB\angle ACB=602=\frac{60}{2}
=30∘=30^\circ
30∘≠60∘30^\circ\ne60^\circ

Неверно. Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.

К утверждению 2: контрпример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • Центральный угол AOB = 60°
  • Вписанный угол ACB = 30°
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«В любой ромб можно вписать окружность.»

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Их пересечение O равноудалено от двух сторон каждого угла, а значит, от всех четырёх сторон. Окружность с центром O и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех сторон.

Утверждение 3: поясняющий пример

На схеме окружность касается каждой из четырёх сторон ромба. Все перпендикулярные расстояния от O до сторон одинаковы.

d(O,AB)d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,BC)
=d(O,CD)=d(O,CD)
=d(O,DA)=d(O,DA)
=r=r

Верно. Это свойство любого ромба; углы не обязаны быть прямыми.

К утверждению 3: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
  • O — центр; радиус √3/2
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Верно
Ответ13

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому и соответствующие высоты равны.
  • Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  • В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Утверждение верно. В произвольном треугольнике высоты обычно различаются.
  • Сначала проверьте, что оба угла опираются именно на одну и ту же дугу.
  • Это свойство любого ромба; углы не обязаны быть прямыми.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)