Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание B5CE07.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.»
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: . При увеличении всех сторон в k раз в k раз увеличивается и соответствующая высота. В формуле площади перемножаются основание и высота, поэтому площадь увеличивается в k·k = k² раз.
У двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 1 и 2, 2 коэффициент подобия 2. Площади равны 1/2 и 2, их отношение — 4.
Неверно. Длины меняются в k раз, площади — в k² раз.
«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.»
Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство верно у каждого прямоугольника независимо от отношения его сторон.
На схеме точка O — общая середина обеих диагоналей.
Верно. Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.
«Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.»
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, а не всегда пополам. Если биссектриса CD проведена из C к стороне AB, то AD/DB = CA/CB. Части AD и DB будут равны лишь тогда, когда CA = CB.
В треугольнике с CA = 4, CB = 3 биссектриса CD делит AB в отношении 4 : 3, а не 1 : 1.
Неверно. Пополам противоположную сторону делит медиана. Биссектриса делает это только при равных прилежащих сторонах.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.