Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 93D00E32 из 150

Четырёхугольники и окружности

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Существует квадрат, который не является прямоугольником.

  2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

  3. Все диаметры окружности равны между собой.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 93D00E.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Существует квадрат, который не является прямоугольником.
Утверждение 2
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Утверждение 3
Все диаметры окружности равны между собой.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Существует квадрат, который не является прямоугольником.»

Каждый квадрат имеет четыре прямых угла и потому является прямоугольником. Утверждение заявляет существование исключения. Но определение квадрата уже включает все свойства, необходимые для прямоугольника. Исключений быть не может.

Утверждение 1: контрпример

У любого квадрата каждый угол равен 90°. Это полностью удовлетворяет определению прямоугольника.

∠A\angle A=∠B=\angle B
=∠C=\angle C
=∠D=\angle D
=90∘=90^\circ

Неверно. Квадрат — частный вид прямоугольника, имеющий четыре равные стороны.

К утверждению 1: контрпример

Квадрат со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2; BC = 2
Квадрат со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.»

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Если дополнительно AB = BC, то через эти равенства получаем одинаковую длину всех четырёх сторон.

Утверждение 2: поясняющий пример

Объединим данные равенства в одну цепочку.

ABAB=BC=BC
=CD=CD
=DA=DA

Верно. Все стороны параллелограмма стали равными, значит по определению это ромб.

К утверждению 2: пример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Все диаметры окружности равны между собой.»

Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.

Утверждение 3: поясняющий пример

Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.

dd=R=R+R+R
=2R=2R
11+1+1=2=2

Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.

К утверждению 3: пример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AC и BD — диаметры; AC = BD = 2R
  • Оба проходят через центр O
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Верно
Ответ23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Каждый квадрат имеет четыре прямых угла и потому является прямоугольником.
  • Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
  • Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Квадрат — частный вид прямоугольника, имеющий четыре равные стороны.
  • Все стороны параллелограмма стали равными, значит по определению это ромб.
  • Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)