Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 69A6FE.
Ответ: 3.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.»
В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна , где φ — угол между ними. Половины произведения диагоналей достаточно только при их перпендикулярности, когда sin φ = 1. Для произвольного параллелограмма этот дополнительный множитель пропускать нельзя.
У прямоугольника 4×2 площадь равна 8. Обе диагонали равны √20, поэтому половина их произведения равна 10, а не 8.
Считаем числитель: .
Неверно. Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.
«Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.»
Сумма всех трёх углов любого треугольника равна 180°. У прямоугольного треугольника один угол равен 90°. Сумма двух остальных тоже 90°, но вместе с прямым углом общая сумма составляет 180°.
Например, у равнобедренного прямоугольного треугольника углы 45°, 45° и 90°.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Неверно. 90° — сумма только острых углов, а не всех углов прямоугольного треугольника.
«Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.»
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности. Любая точка биссектрисы равноудалена от двух сторон соответствующего угла. Точка пересечения биссектрис поэтому равноудалена от всех трёх сторон. Окружность с таким центром и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех сторон.
На схеме I — общий центр, а перпендикулярные расстояния от I до сторон равны r.
Верно. Для вписанной окружности нужны биссектрисы. Серединные перпендикуляры дают центр описанной окружности.
1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 3 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.