Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ E20B60127 из 150

Четырёхугольники, окружности, треугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

  2. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

  3. В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E20B60.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Утверждение 2
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Утверждение 3
В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.»

Равные диагонали параллелограмма — признак прямоугольника. Прямоугольник может иметь две разные соседние стороны. Тогда он не является ромбом, хотя диагонали у него равны.

Утверждение 1: контрпример

У прямоугольника 4×2 обе диагонали равны √20. Но соседние стороны 4 и 2 различны, поэтому это не ромб.

ACAC=BD=BD
=42+22=\sqrt{4^2+2^2}
=25=2\sqrt{5}
ABAB=4≠2=4\ne2
=BC=BC

Неверно. Для ромба подходят перпендикулярные диагонали параллелограмма; для прямоугольника — равные.

К утверждению 1: контрпример

Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 4; BC = 2
  • AC = BD = 2√5
  • O — середина обеих диагоналей
Прямоугольник со сторонами 4 и 2.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.»

Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра. Если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Расстояние между O и A равно длине этого отрезка, то есть R. Это следует из определения окружности.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме все точки окружности, включая A, находятся от O на расстоянии R.

A∈ω ⟹ OAA\in\omega\ \Longrightarrow\ OA=R=R

Верно. Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.

К утверждению 2: пример

Окружность с центром O.
Обозначения на чертеже
  • OA = R — радиус
Окружность с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.»

В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°, а сумма двух остальных меньше 90°. Оба остальных угла положительны. Если их сумма меньше 90°, каждый из них отдельно тоже меньше 90°. Значит, в тупоугольном треугольнике есть даже два острых угла.

Утверждение 3: поясняющий пример

Например, углы 120°, 30°, 30° образуют тупоугольный треугольник с двумя острыми углами.

180180−120-120=60∘=60^\circ
3030+30+30=60∘=60^\circ

Верно. Утверждение о наличии одного острого угла верно, поскольку на самом деле их два.

К утверждению 3: пример

У тупоугольного треугольника два остальных угла острые.
Обозначения на чертеже
  • ∠B = 120° — тупой
  • ∠A = ∠C = 30° — острые
У тупоугольного треугольника два остальных угла острые.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Верно
Ответ23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Равные диагонали параллелограмма — признак прямоугольника.
  • Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра.
  • В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°, а сумма двух остальных меньше 90°.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Для ромба подходят перпендикулярные диагонали параллелограмма; для прямоугольника — равные.
  • Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.
  • Утверждение о наличии одного острого угла верно, поскольку на самом деле их два.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)