Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ E8631061 из 150

Четырёхугольники, треугольники, прямые и углы

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

  2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

  3. Смежные углы всегда равны.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E86310.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Утверждение 2
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Утверждение 3
Смежные углы всегда равны.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.»

У квадрата диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. У произвольного выпуклого четырёхугольника первые два свойства не обеспечивают третьего. Поэтому равные перпендикулярные диагонали ещё не гарантируют квадрат.

Утверждение 1: контрпример

Построим выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями AC = BD = 4, но AO = 1, OC = 3, BO = OD = 2. Диагонали равны и перпендикулярны, однако AC не делится пополам. У квадрата это невозможно.

ACAC=BD=BD
=4,AC⊥BD=4,\quad AC\perp BD
AOAO=1,OC=1,\quad OC
=3=3
AO≠OCAO\ne OC

Неверно. Утверждение стало бы верным, если бы дополнительно было сказано, что четырёхугольник — параллелограмм.

К утверждению 1: контрпример

Выпуклый четырёхугольник с равными перпендикулярными диагоналями не обязательно квадрат.
Обозначения на чертеже
  • AC = BD = 4; AC ⟂ BD
  • AO = 1 ≠ 3 = OC
Выпуклый четырёхугольник с равными перпендикулярными диагоналями не обязательно квадрат.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.»

Все углы треугольника в сумме дают 180°, один угол прямоугольного треугольника равен 90°. Чтобы найти сумму двух оставшихся острых углов, вычтем прямой угол из общей суммы.

Утверждение 2: поясняющий пример

Получаем 180° − 90° = 90°. Это верно для любого прямоугольного треугольника.

180180−90-90=90∘=90^\circ

Верно. В утверждении речь именно о двух острых углах, поэтому оно верно.

К утверждению 2: пример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 3: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

3030+150+150=180∘=180^\circ
30∘≠150∘30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

К утверждению 3: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • ∠BOC = ∠AOD = 30° — вертикальные
  • ∠AOC = 150° — смежный с углом BOC
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • У квадрата диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
  • Все углы треугольника в сумме дают 180°, один угол прямоугольного треугольника равен 90°.
  • Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Утверждение стало бы верным, если бы дополнительно было сказано, что четырёхугольник — параллелограмм.
  • В утверждении речь именно о двух острых углах, поэтому оно верно.
  • Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)