Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ A5FC60123 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

  2. Все углы ромба равны.

  3. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A5FC60.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Утверждение 2
Все углы ромба равны.
Утверждение 3
Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Любой прямоугольник можно вписать в окружность.»

Около прямоугольника можно описать окружность. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Поэтому их точка пересечения O находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин. Окружность с центром O и этим радиусом проходит через все вершины.

Утверждение 1: поясняющий пример

Для прямоугольника 4×2 все четыре расстояния от O до вершин равны √5.

OAOA=OB=OB
=OC=OC
=OD=OD
=AC2=\frac{AC}{2}
=5=\sqrt{5}

Верно. Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.

К утверждению 1: пример

Прямоугольник со сторонами 4 и 2. Все вершины лежат на окружности с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AB = 4; BC = 2
  • AC = BD = 2√5
  • O — середина обеих диагоналей
Прямоугольник со сторонами 4 и 2. Все вершины лежат на окружности с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Все углы ромба равны.»

У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата. Противоположные углы ромба равны, соседние дополняют друг друга до 180°. Они могут быть разными: острыми и тупыми.

Утверждение 2: контрпример

Ромб с углами 60°, 120°, 60°, 120° удовлетворяет определению ромба, но не имеет четырёх одинаковых углов.

6060+120+120=180∘=180^\circ
60∘≠120∘60^\circ\ne120^\circ

Неверно. Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.

К утверждению 2: контрпример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.»

В треугольнике сумма любых двух сторон строго больше третьей. Для длин 1, 2 и 4 условие нарушено: две короткие стороны в сумме короче длинной. Такой треугольник построить нельзя.

Утверждение 3: контрпример

Складываем два меньших числа и сравниваем с наибольшим.

11+2+2=3=3
3<43<4

Неверно. Правильный вывод противоположный: треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

К утверждению 3: контрпример

Три отрезка длиной 1, 2 и 4 нельзя замкнуть в треугольник.
Обозначения на чертеже
  • Первый отрезок: 1
  • Второй отрезок: 2
  • Третий отрезок: 4; 1 + 2 < 4
Три отрезка длиной 1, 2 и 4 нельзя замкнуть в треугольник.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Неверно
Ответ1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Около прямоугольника можно описать окружность.
  • У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата.
  • В треугольнике сумма любых двух сторон строго больше третьей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.
  • Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.
  • Правильный вывод противоположный: треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)