ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ FB6E7E35 из 150

Четырёхугольники и прямые и углы

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Все углы прямоугольника равны.
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание FB6E7E.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 2: Все углы прямоугольника равны.
Утверждение 3: Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 1: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Все углы прямоугольника равны.»

По определению у прямоугольника все четыре угла прямые. Каждый прямой угол равен 90°. Следовательно, четыре угла прямоугольника имеют одинаковую градусную меру и равны между собой.

Утверждение 2: поясняющий пример

У прямоугольника на схеме все углы по 90°, независимо от того, что длина и ширина различаются.

\angle A

=\angle B

=\angle C

=\angle D

=90^\circ

Верно. Равенство всех углов не требует равенства всех сторон: последнее нужно для квадрата.

Утверждение 3: разбираем правило

«Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.»

Через одну точку можно провести бесконечно много прямых разных направлений. Чтобы подтвердить утверждение о существовании трёх прямых, достаточно построить один пример. Возьмём горизонтальную, вертикальную и наклонную прямые через одну точку O.

Утверждение 3: поясняющий пример

На схеме три различные прямые действительно проходят через O.

Верно. Слово «существуют» не означает, что любые три прямые обязательно имеют общую точку.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Верно
Ответ	23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .
По определению у прямоугольника все четыре угла прямые.
Через одну точку можно провести бесконечно много прямых разных направлений.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Равенство всех углов не требует равенства всех сторон: последнее нужно для квадрата.
Слово «существуют» не означает, что любые три прямые обязательно имеют общую точку.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и прямые и углы