ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 339D8D149 из 150

Окружности и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.
Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 339D8D.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.
Утверждение 2: Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Утверждение 3: Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.»

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Диаметр делит окружность на две полуокружности по 180°. Вписанный угол, опирающийся на концы диаметра, опирается на одну из этих дуг и равен половине 180°.

Утверждение 1: поясняющий пример

Если AB — диаметр, а C — другая точка окружности, то угол ACB равен 90°.

\angle ACB

=\frac{180}{2}

=90^\circ

Верно. Утверждение верно при условии, что вершина C лежит на окружности и отличается от концов диаметра.

Утверждение 2: разбираем правило

«Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер. Увеличение треугольника сохраняет все углы, но меняет длины сторон. Поэтому два треугольника с одинаковыми углами могут иметь разные размеры и не быть равными.

Утверждение 2: контрпример

У равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 все углы по 60°. Однако сторона 2 не равна стороне 3, значит треугольники не равны.

60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ

2\ne3

Неверно. Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Утверждение 3: разбираем правило

«Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.»

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_2/S_1=k^2$ . При увеличении всех сторон в k раз в k раз увеличивается и соответствующая высота. В формуле площади перемножаются основание и высота, поэтому площадь увеличивается в k·k = k² раз.

Утверждение 3: контрпример

У двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 1 и 2, 2 коэффициент подобия 2. Площади равны 1/2 и 2, их отношение — 4.

k

=2

\frac{2}{\frac{1}{2}}

=4

2^2

=4

Неверно. Длины меняются в k раз, площади — в k² раз.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_2/S_1=k^2$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Утверждение верно при условии, что вершина C лежит на окружности и отличается от концов диаметра.
Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.
Длины меняются в k раз, площади — в k² раз.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Окружности и треугольники