Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание BA927F.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.»
В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины между равными сторонами является медианой к основанию. Это свойство одной особой биссектрисы, а не каждой. Биссектрисы углов при основании в неравностороннем треугольнике обычно делят противоположные стороны на неравные части.
Возьмём прямоугольный равнобедренный треугольник с AB = AC = 1 и BC = √2. Биссектриса BD угла при B делит AC в отношении AD/DC = AB/BC = 1/√2, поэтому D не середина AC.
Неверно. Верным было бы утверждение о биссектрисе, проведённой к основанию из противоположной вершины.
«Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.»
Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту. Ромб является параллелограммом. Выберем его сторону основанием a и проведём к ней высоту h. Общая формула даёт S = ah.
На схеме основание AD выделено синим, высота BH — зелёным. Высота проведена перпендикулярно AD, поэтому именно её умножают на основание.
Верно. Утверждение верно. Соответствующая высота обязательна: наклонная соседняя сторона обычно не заменяет её.
«Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.»
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Радиус заканчивается в точке касания и образует с касательной прямой угол. Поэтому вместо «параллельна» должно стоять «перпендикулярна».
Пусть T — точка касания, O — центр. Угол между OT и касательной равен 90°.
Неверно. Параллельные различные прямые не пересекаются, тогда как радиус и касательная имеют общую точку T.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.